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Ejemplos de ecuaciones


Se denomina ecuación a una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, en las cuales aparecen valores conocidos y otros desconocidos.

Mientras que los valores desconocidos son denominados variables o incógnitas (las cuales se representan por letras, generalmente la letra “x”, la letra “y”, y la letra “z”), cuya magnitud puede conocerse a partir de las propiedades matemáticas de la ecuación o a través de un sistema de ecuaciones, los valores conocidos son constantes (números o coeficientes).

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Se denomina solución de una ecuación a los valores individuales de las variables que satisface la ecuación, y se dice que la ecuación está resuelta cuando se ha encontrado su dominio solución.

Tipos de ecuaciones

Existen diversos tipos de ecuaciones diferentes, que se clasifican según el tipo de operaciones matemáticas que se utilizan para definirlas, y según cuál sea el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos de ecuaciones pueden mencionarse:

  • ecuaciones racionales
  • ecuaciones diofánticas
  • ecuaciones trascendentes
  • ecuaciones diferenciales
  • ecuaciones funcionales
  • ecuaciones integrales
  • ecuaciones de primer grado (o ecuaciones lineales)
  • ecuaciones de segundo grado (o ecuaciones cuadráticas)
  • ecuaciones de tercer grado
  • ecuaciones de cuarto grado
  • ecuaciones de quinto grado, etc.

De forma general, se dice que una ecuación polinómica tiene la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio. Además, para determinar el grado de una ecuación se debe tomar el grado del monomio más alto que forma el polinomio.

De esta manera, se puede determinar qué forma tendrá una ecuación de un determinado grado.

  • Ecuación de primer grado o lineal:

ecuación de primer grado

  • Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas:

Ecuación de segundo grado

  • Ecuaciones de tercer grado:

Ecuación de tercer grado

  • Ecuaciones de cuarto grado:

Ecuación de cuarto grado

  • Ecuaciones de grado n:

Ecuación de grado n

Ecuaciones equivalentes

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Esta propiedad se utiliza frecuentemente cuando se está intentando resolver una ecuación. Para poder determinar la equivalencia, se utilizan dos criterios:

  • Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad constante, la ecuación es equivalente a la original.

Función equivalente (1)

Esta ecuación tendrá el mismo resultado que esta otra:

Función equivalente (2)

  • Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad constante, la ecuación es equivalente a la original.

Función equivalente (3)

Esta ecuación tendrá el mismo resultado que esta otra:

Función equivalente (4)

 Ejemplos de ecuaciones

Ejemplo de ecuaciones (lista)

Ejemplos resueltos de ecuaciones

Para resolver una ecuación, se debe despejar completamente la incógnita o variable, quedando ésta de un lado del igual. Para esto, se pueden aplicar diversas propiedades que permitan reducir las expresiones, así como pasar los términos de uno a otro lado del igual.

  • Ejemplo 1:

   Ejemplo de ecuación 1a

En este ejemplo, la x representa nuestra incógnita. Para despejarla, se dice que “pasamos” el término constante (+6) del otro lado del igual (lo que en realidad se hace es restarle 6 a ambos términos, lo que no modifica la igualdad).

Ejemplo de ecuación 1b

Al resolver el segundo término, vemos que el único valor que puede tomar x para satisfacer la ecuación es 9.

Ejemplo de ecuación 1c

  • Ejemplo 2:

Ejemplo de ecuación 2a

En este caso, debemos despejar la x, así que comenzamos “pasando” el 6 al segundo término (como en el ejemplo anterior).

Ejemplo de ecuación 2b

Ahora, vemos que la x está siendo multiplicada por un 3, así que para deshacernos de ese tres, aplicaremos nuevamente la propiedad que establece que si realizamos la misma operación a ambos lados del igual, la equivalencia sigue siendo válida. En este caso, dividimos ambos términos por 3.

Ejemplo de ecuación 2c

Y ahora, simplificamos las fracciones para llegar al resultado.

Ejemplo de ecuación 2d



  • Ejemplo 3:

Ejemplo de ecuación 3a

Aquí vemos que la incógnita x aparece dos veces, a ambos lados del igual. Como debemos tratar de tener solo una, pasamos todas las incógnitas del lado izquierdo del igual y todas las constantes del lado derecho.

Ejemplo de ecuación 3b

Ahora, simplemente resolvemos las operaciones de ambos lados del igual (las incógnitas pueden sumarse y restarse igual que los demás valores).

Ejemplo de ecuación 3c

Y ahora llegamos a una situación similar a la del ejemplo anterior, por lo cual tratamos de eliminar el 2 que multiplica a la x.

Ejemplo de ecuación 3d

  • Ejemplo 4:

Ejemplo de ecuación 4a

En este caso, buscamos un número que sea múltiplo de los dos denominadores (el 3 y el 4), para poder simplificar las expresiones y poder despejar términos. En este caso, el 12 es el mínimo común múltiplo de ambos denominadores.

Ejemplo de ecuación 4b

Ahora simplificamos el 12 con el 3 (en el primer término), y el 12 con el 4 (en el segundo término).

Ejemplo de ecuación 4c

Como vemos, hemos logrado deshacernos de los denominadores. Ahora aplicamos la propiedad distributiva en ambos términos.

Ejemplo de ecuación 4d

Pasamos todas las incógnitas del mismo lado del igual y todos los términos constantes del otro.

Ejemplo de ecuación 4e

Y ahora resolvemos las expresiones.

Ejemplo de ecuación 4f

  • Ejemplo 5:

Ejemplo de ecuación 5a

Para empezar, podemos reducir la expresión del segundo término, reacomodando los términos.

Ejemplo de ecuación 5b

Ahora, debemos deshacernos del paréntesis, para lo cual podemos aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la resta.

Ejemplo de ecuación 5c

Nuevamente, dejamos todas las incógnitas de un lado del igual y los términos constantes del otro.

Ejemplo de ecuación 5d

Y finalmente, despejamos completamente nuestra incógnita.

Ejemplo de ecuación 5e

  • Ejemplo 6:

Ejemplo de ecuación 6a

En este caso estamos en presencia de una ecuación cuadrática (vemos que el monomio más alto es de grado 2). Primero identificamos cada término de acuerdo a la fórmula de las ecuaciones cuadráticas:

Ejemplo de ecuación 6b

Si bien existen diversas formas de resolver una ecuación cuadrática, una muy sencilla es utilizar una fórmula resolvente:

Ejemplo de ecuación 6c

Ahora, simplemente reemplazamos a, b y c en la fórmula resolvente para hallar las soluciones.

Ejemplo de ecuación 6d

Ahora consideramos las dos posibilidades (ya que habrá dos soluciones para la ecuación cuadrática).

Ejemplo de ecuación 6e

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación serán:

Ejemplo de ecuación 6f

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