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Ejemplos de ecuaciones lineales


Una ecuación es una igualdad matemática, que se da entre dos expresiones algebraicas, en las cuales aparecen constantes, números o coeficientes (que son valores ya conocidos) y variables o incógnitas (que son valores desconocidos).

Las ecuaciones lineales pueden tener una o más incógnitas, y pueden darse solas o en un sistema de ecuaciones lineales, es decir, varias ecuaciones lineales diferentes que tienen las mismas variables, y que se resuelven sustituyendo la variable en una ecuación por su equivalente en las otras. Las ecuaciones lineales son una de las dos formas matemáticas de expresar una relación lineal, que consiste en un conjunto de pares ordenados que tienen una recta como representación gráfica (la otra son las funciones lineales).

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De forma más específica, se denomina ecuación lineal a una ecuación que tiene la forma:

Forma de una ecuación lineal

donde “a” y “b” son números reales y donde la ecuación tiene n incógnita. En este tipo de ecuaciones, todas las x serán incógnitas, mientras que todas las “a” serán coeficientes y “b” será el término independiente. En una ecuación lineal, las variables están a la primera potencia y solo se dan sumas y restas entre las variables.

Además, se dice que dos ecuaciones lineales son equivalentes si tienen la misma solución. Una ecuación se resuelve cuando se han encontrado aquellos valores individuales de las variables que satisfacen la ecuación en su conjunto.

Pasos para la resolución de ecuaciones lineales

Existen una serie de pasos que se siguen usualmente cuando se intenta resolver una ecuación lineal, con el objetivo de despejar la incógnita.

  1. Eliminar los paréntesis de la expresión, para lo cual podemos aplicar propiedades del álgebra como la propiedad conmutativa o la propiedad distributiva.
  2. Quitar los denominadores en caso de haber términos fraccionarios. Estos dos pasos se realizan con el objetivo de poder separar los términos independientes de los que tengan la incógnita.
  3. Se agrupan todos los términos independientes en un miembro de la ecuación (es decir, de un lado del igual) y todos los términos dependientes que tienen incógnita en el otro miembro.
  4. Se reducen los términos semejantes realizando operaciones algebraicas (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, etc.).
  5. Se continúa reduciendo los términos hasta que la incógnita haya quedado totalmente despejada, para lo cual puede ser necesario volver a realizar los pasos 1) y 2).

Ejemplos de resolución de ecuaciones lineales

 

  • Ejemplo 1:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 1a

Nuestro objetivo para resolver la ecuación es despejar la incógnita (en este caso la x). Como no tenemos paréntesis ni términos fraccionarios, y además ya tenemos todos los términos independientes de un lado del igual, dividimos ambos términos por ocho (ya que al realizar la misma operación en ambos términos de una ecuación, la igualdad se mantiene):

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 1b

De manera que simplificando en ambos términos (los dos ochos en el término izquierdo y la fracción en el término derecho) nos queda:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 1c

  • Ejemplo 2:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 2a

Lo primero que podemos hacer aquí es agrupar los términos independientes de un lado del igual y los términos con incógnita en el otro miembro. De esa forma, pasamos los términos y queda:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 2b

Ahora, reducimos los términos todo lo posible:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 2c

Y finalmente, dividimos ambos términos por 2 (se acostumbra decir coloquialmente que “se pasa el 2” al otro miembro, realizando la operación inversa, pero en realidad, lo que se hace es aplicar la misma operación en ambos miembros):

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 2d

Simplificamos y queda la incógnita despejada:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 2e

  • Ejemplo 3:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 3a

En este caso, debemos deshacernos de los paréntesis, para lo cual aplicamos la propiedad distributiva:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 3b

Realizamos las operaciones para reducir los términos:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 3c

Ahora pasamos todos los términos independientes de un lado del igual y los dependientes del otro lado:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 3d

Realizamos las operaciones posibles en ambos miembros:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 3e

Y despejamos completamente la incógnita:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 3f

  • Ejemplo 4:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 4a

Lo primero que debemos hacer es quitar los denominadores de la expresión, para lo cual podemos buscar el mínimo común múltiplo de 4 y 2, en este caso 4:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 4b

Ahora “pasamos” el 4 que divide al primer miembro del otro lado del igual:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 4c

Ahora, podemos eliminar los paréntesis aplicando la propiedad distributiva en ambos miembros:

   Ejemplo de ecuación lineal resuelta 4d

Ahora pasamos todos los términos independientes de un lado del igual:



Ejemplo de ecuación lineal resuelta 4e

Resolvemos las operaciones y reducimos los términos:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 4f

Y finalmente:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 4g

  • Ejemplo 5:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 5a

Eliminamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 5b

Pasamos todos los términos independientes de un lado del igual:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 5c

Realizamos las operaciones para reducir los términos a la mínima expresión posible:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 5d

  • Ejemplo 6:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 6a

Primero quitamos los denominadores para poder trabajar con expresiones más simples, para lo cual “pasamos” los denominadores al otro lado del igual:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 6b

Ahora aplicamos la propiedad distributiva en ambas expresiones:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 6c

Pasamos todos los términos independientes del mismo lado del igual:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 6d

Resolvemos las operaciones y reducimos a la mínima expresión posible:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 6e

Y despejamos completamente la incógnita:

Ejemplo de ecuación lineal resuelta 6f

20 ejemplos de ecuaciones lineales

20 Ejemplos de ecuaciones lineales

Pendiente de una ecuación lineal

Toda ecuación lineal con dos incógnitas puede ser graficada en un plano coordenado bajo la forma de una recta, y como tal, tiene una pendiente, la cual indica en cuántas unidades cambia la ordenada cuando x aumenta en una unidad. Dados dos puntos puntos p1 y p2  pertenecientes a una recta cualquiera (es decir, que ambos puntos son soluciones de la ecuación), tal que p1 y que p2, entonces la pendiente m de la recta será:

Pendiente de una ecuación lineal

Ejemplos de gráficos de ecuaciones lineales

Todas las ecuaciones con dos incógnitas pueden ser graficadas como una recta en el plano cartesiano, ya que la gráfica de una ecuación lineal es la gráfica de su conjunto solución. Para ello, no hace falta más que encontrar dos puntos cualesquiera que pertenezcan a la recta, y trazar la recta que une ambos puntos. Para hallar un punto, se puede reemplazar una incógnita por un valor cualquiera, y luego proceder a despejar la otra incógnita.

  •         Ecuación lineal 1

Ecuación lineal 1

  •         Ecuación lineal 2

Ecuacion lineal 2

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