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Ejemplos de fracciones

Las fracciones son una manera de expresar números, basada en las partes iguales que resultan al dividir un número entero. Se expresan con dos números enteros separados por una línea horizontal u oblicua, donde el primer término (el que va arriba) es llamado numerador y el segundo término (el que va debajo de la línea) es llamado denominador. Por ejemplo: 3/4, 1/2, 1/8, 4/5, 33/9.

Mientras que el numerador representa el número de partes que se toman del número entero que se dividió inicialmente, el denominador representa el número de partes en las cuales se divide la unidad.

Tipos de fracciones

  • Fracciones propias. Son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador.
  • Fracciones impropias. Son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador.
  • Fracciones decimales. Son aquellas en las que el denominador es una potencia de diez.
  • Fracciones mixtas. Son aquellas que se componen de un número entero y una fracción.
  • Fracciones irreductibles. Son aquellas que no pueden simplificarse debido a que el numerador y el denominador son números primos.
  • Fracciones equivalentes. Son dos o más fracciones que expresan el mismo número.

Ejemplos de fracciones

  • 1/1
  • 1/2
  • 1/10
  • 1/100
  • 1/10
  • 2/10
  • 2/4
  • 3/1
  • 3/2
  • 3/3
  • 5/10
  • 5/26
  • 6/12
  • 7/7
  • 12/10
  • 20/1
  • 20/60
  • 50/4
  • 230/123
  • -2/3
  • -6/4
  • – 12/38
  • -589/7

Ejemplos de conjuntos

Los conjuntos (también llamados “clases” o “agregados”) son una agrupación de objetos reales o ideales bien diferenciados, a los que se llama elementos, que se agrupan por una o varias propiedades en común. Por ejemplo: los días de la semana =[lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo], países latinoamericanos = [Argentina, Bolivia, Brasil, Chile, Colombia, Ecuador…], números naturales = [1, 2, 3 , 4, 30, 80, 600…].

Los conjuntos se designan mediante letras mayúsculas, y los elementos que los componen se designan con letras minúsculas o con números. Cuando se quiere hacer referencia al contenido de un conjunto en particular, este se escribe entre llaves, paréntesis o algún otro símbolo de agrupación.

Tipos de conjuntos

  • Los conjuntos finitos (tienen una cantidad finita de elementos que se pueden contar en su totalidad).
  • Los conjuntos infinitos (formados por una cantidad infinita de elementos que no pueden terminar de contarse).
  • Los conjuntos unitarios (formados por un único elemento).
  • Los conjuntos vacíos (no poseen ningún elemento y se representan con el símbolo Ø).
  • Los conjuntos homogéneos (formados por elementos que pertenecen a un mismo género).
  • Los conjuntos heterogéneos (formados por elementos que pertenecen a distintos géneros).
  • Los conjuntos equivalentes (dos o más conjuntos que tienen la misma cantidad de elementos).
  • Los conjuntos iguales (dos o más conjuntos que tienen los mismos elementos).

Ejemplos de conjuntos

  1. Los países del mundo (los elementos serían cada uno de los países: Argentina, China, Brasil, Rusia, Suiza, Japón, Italia, Egipto, India…)
  2. Los números pares (los elementos serían: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…)
  3. Los números impares (los elementos serían: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13…)
  4. Todos los alumnos de un colegio.
  5. El conjunto A = [ a, b, c, d, h, i, j, k, u, v, w, x, y, z ].
  6. El conjunto C = (Carlos, María, Juan, Sandra, Marcelo, Ana).
  7. El conjunto vacío K = {}
  8. Los colores del arco iris = { violeta, índigo, azul, verde, amarillo, naranja, rojo}
  9. Los meses del año = [ enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre]
  10. Los meses del año que empiezan con la letra j = (junio, julio). Este conjunto es un subconjunto del conjunto anterior.
  11. Todos los miembros de la familia García = {Carlos, María, Juan, Sandra, Marcelo, Ana}. Este conjunto es igual al conjunto C.
  12. El conjunto formado por todos los planetas habitables del Sistema Solar = [ Tierra ]. Este es un conjunto unitario.
  13. El conjunto T = { perro, casa, auto, mono, luna, topo, candelabro }
  14. El conjunto W = { gato, cama, rifle, mesa, silla, tanque, computadora }. Este conjunto es equivalente al conjunto T, pues ambos tienen 7 elementos.
  15. El conjunto de los números primos. Este es un conjunto infinito.

Ejemplos de números racionales

Los números racionales son todos los números que pueden ser representados como el cociente de dos números enteros p y q, es decir, como una fracción común de dos términos: un numerador p y un denominador q (distinto de cero). Por ejemplo: 1 (que puede expresarse como 1/1), 6 (que puede expresarse como 12/2).

Los números racionales se identifican con la letra Q, e incluyen a todos los números enteros (que se expresan con la letra Z) y son a su vez un subconjunto de los números reales (que se identifican con la letra R). Los números racionales pueden tener una expresión finita o periódica cuando se expresan como números decimales.

Todos aquellos números que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, forman los números irracionales, cuya expresión decimal es infinita y no periódica.

Ejemplos de números racionales

  • 8 (que puede expresarse como 16/2)
  • 96078431 (que pueda expresarse como 100/51)
  • -4 (que puede expresarse como -8/2)
  • -33 (que puede expresarse como -66/2)
  • 5 (que puede expresarse como 7/2)
  • 3333333 (que puede expresarse como 55/3)
  • 1200 (que puede expresarse como 6000/5)
  • 666667 (que puede expresarse como 1145/3)
  • 3333333 (que puede expresarse como 100/3)
  • 90909091 (que puede expresarse como 65/11)
  • 0 (que puede expresarse como 0/1)
  • -14.142857 (que puede expresarse como -99/7)
  • 11111111 (que puede expresarse como 1/9)
  • 01 (que puede expresarse como 1/100)
  • 05617978 (que puede expresarse como 5/89)

Ejemplos de números irracionales

Un número irracional es todo aquel número que no puede escribirse como el cociente de dos números, debido a que el número decimal es periódico pero no se repite en ningún momento, es decir, que posee infinitas cifras no periódicas. Por ejemplo: π (pi) = 3,14159265358979323846…

Los números irracionales se representan como R – Q (o bien los números reales menos los números racionales), ya que al no constituir una estructura algebraica no tienen un símbolo propio. Sin embargo, sí existen algunos números irracionales que debido a su gran importancia dentro de las matemáticas tienen su propia notación, como son los casos de π y e.

Tipos de números irracionales

  • Números algebraicos. Son números irracionales que surgen al resolver una ecuación algebraica y que se escriben con una cantidad finita de radicales libres o anidados.
  • Números trascendentes. Son números irracionales que no pueden representarse mediante un número finito de radicales libres o anidadas, pues provienen de las llamadas funciones trascendentes.

Ejemplos de números irracionales

  • π (pi) = 3,14159265358979323846…
  • √2 = 1.41427…
  • √5 = 2.2360679774997896964091736687313…
  • √7 = 2.6457513110645905905016157536393…
  • √11 = 3.3166247903553998491149327366707…
  • √13 = 3.6055512754639892931192212674705…
  • √31 = 5.5677643628300219221194712989185…
  • √122 = 11.045361017187260774210913843344…
  • √999 = 31.606961258558216545204213985699…
  • e (número de Euler) = 2,7182818284590452353602874713527…
  • 1 + 3. √2
  • 1 + √5
  • 2 . e
  • π + e
  • 1 + 3. e

Ejemplos de Números Reales

Los números reales son todos aquellos números que pueden ser representados en una recta numérica, por oposición a los números imaginarios, los cuales no pueden ser representados en la recta numérica. Por ejemplo: 2, 1/2, -4, 13, 13.2, 200.

Los números reales incluyen a otros grupos de números como los racionales, los naturales o los irracionales y se les pueden aplicar una serie de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, raíz) y propiedades (propiedad asociativa, la propiedad distributiva, la propiedad conmutativa, entre otras).

Tipos de números reales y ejemplos

  • Números naturales: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 234, 578, 1234, 65789, …}
  • Números enteros positivos: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  • Números enteros negativos: {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9}
  • Cero: {0}
  • Números decimales: {0.25, 2.45, 12.543, 345.01, 33456.99, π, √2, …}
  • Números fraccionarios: {½, ¼, 1/8, 1/16, 2/9, 13/3, 345/2, …}
  • Números racionales: {0.123, 1/5, 8, 2389, 19/45, ….}
  • Números irracionales: √1, π (pi) = 3.14159265358979323846… , j (phi o número Áureo) = 1.618033988749894848204586834365638117720309…

Ejemplos de Números Naturales

Los números naturales (representados con la letra “N”) son todos aquellos números que van desde el 1 hasta el infinito. Por ejemplo: 1, 4, 80, 24000, 200000. Son ilimitados, pero no son todos los números existentes, ya que también existen los números decimales, los números fraccionarios y los números irracionales.

Todos los números naturales pueden ser representados en una recta y pueden ser ordenados de menor a mayor; son usados para indicar el tamaño de un conjunto finito de objetos y para dar cuenta de la posición que un elemento ocupa en el interior de una secuencia ordenada.

Es importante destacar que los números naturales son una parte de un conjunto más amplio de números: los números enteros, que incluyen al cero y a los números negativos (menores que cero).

Ejemplos de números naturales

  • 1
  • 2
  • 8
  • 9
  • 15
  • 23
  • 67
  • 100
  • 101
  • 123
  • 256
  • 567
  • 999
  • 1000
  • 1267
  • 2000
  • 3555
  • 9999
  • 593856
  • 1000000

Oraciones con números naturales

  • Fui a comprar 5 paquetes de azúcar, porque vamos a cocinar muchas tortas para la fiesta.
  • Hay 20 kilómetros desde aquí hasta la ciudad.
  • La carrera solo da 3 premios, a los competidores que lleguen en primer, segundo y tercer lugar.
  • Si Juan tiene 10 manzanas y María tiene 12 manzanas, ¿Cuántas manzanas tengo en total?
  • La guerra civil provocó 7000 civiles muertos y más de 12.000 refugiados, lo que la convierte en una terrible tragedia humanitaria.

Ejemplos de Números Enteros

Los números enteros son un conjunto de números que incluyen a todos los números naturales distintos de cero (es decir: 1, 2, 3, 4, 5, 6…), a los números negativos de los naturales (-1, -2, -3, -4, -5, -6…) y al cero. Las operaciones que se pueden realizar con los números enteros son la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Es importante aclarar que los números enteros no incluyen a los números decimales ni a los números fraccionarios (tales como 2.5 o ¼).

Ejemplos de números enteros

  • 1
  • 2
  • 7
  • 0
  • -1
  • -2
  • -7
  • 10
  • 100
  • -10
  • -100
  • 257
  • 4981
  • -55499
  • 1000000000
  • -1234567890

Ejemplos de Factorización

Se denomina factorización a una técnica matemática que implica describir una expresión matemática en la forma de un producto, estas secciones o partes fundamentales son denominadas factores. El objetivo de la factorización es simplificar una expresión matemática para facilitar las operaciones y análisis que se puedan realizar con ella. Por ejemplo: 5x – 5y = 5. (x- y); 1o + 2o= 10. (1+ 2).

Tipos de factorización

  • el factor común (de un monomio o de un polinomio)
  • el trinomio cuadrado perfecto
  • el cubo perfecto de tetranomios
  • la diferencia de cuadrados
  • el factor común por agrupación de términos

Ejemplos de factorización

  1. 12 + 24= 12. (1+ 2)
  2.  5 + 10 + 15+ 20 + 25= 5. (1+ 2+ 3+ 4+ 5)
  3. 10x – 10y = 10. (x- y)
  4. 100 cm +150 cm-50 cm=50 .(2 cm+3 cm-1 cm)
  5. 8x + 16y= 8. (x + 2y)
  6. 3a^2+6ab=3a.(a+2b)
  7. (9b^2 )-(4a^2 )=(3b-2a)  .(3b+2a)
  8.  6a^3+18a^2=  6a^2.(a+3)
  9. b^3- b^2=b^2.(b-1)
  10. 1/2+1/4+1/4=1/2.(1 +1/2+1/2)
  11. y^2-4=(y+2).(y-2)
  12. 6m +18m=6.(1m +3m)
  13.  a^4-16=(a^2+4)  .(a^2-4)
  14.  (a^2+4)  .(a^2-4)=(a+2)  .(a-2)  .(a^2  +4)
  15.  a.b-b.c=b.(a-c)