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Ejemplos de álgebra

Se llama álgebra (del árabe al-ŷabr, que significa “reintegración” o “recomposición) a una rama de las matemáticas que estudia la combinación de elementos mediante estructuras abstractas, siguiendo un conjunto de reglas.

El álgebra permite expresar relaciones de forma general, utilizando para ello el razonamiento abstracto y recurriendo a las operaciones matemáticas, tales como la suma, la resta, la multiplicación y la división, entre otras. En álgebra se utilizan símbolos (generalmente letras) para representar parámetros (que pueden ser variables, coeficientes o incógnitas), dando lugar a las llamadas fórmulas algebraicas.

Ejemplos de uso del álgebra

  • En la aritmética, se utilizan operaciones algebraicas para expresar propiedades de las operaciones matemáticas:

1.Propiedad conmutativa de la suma:

a + b + c = a + c + b = b +a +c = c + a + b

2. Propiedad conmutativa de la multiplicación:

a. b. c = a. c. b = b. a. c = c. a. b

3. Propiedad asociativa de la suma:

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

4. Propiedad asociativa de la multiplicación:

(a. b). c = a. (b. c) = a. b. c

  • En la trigonometría, se utiliza el álgebra para mostrar las relaciones generales entre las operaciones trigonométricas:

5. Relación pitagórica:

sen² + cos² = 1

6. Identidad de la razón:

tan x = sen / cos

7. Definición del seno en función del coseno:

sen= √1-cos²

  • En la geometría, el álgebra se utiliza para expresar las fórmulas que permiten calcular el área (o superficie) y el volumen de las figuras geométricas:

8. Área de un cuadrado:

A = a²
(a = lado del cuadrado)

 

9. Área de un paralelogramo:

A = b. h

(b = base del paralelogramo, h = altura del paralelogramo)

 

10. Área de un círculo:

A = π. r²

(r = radio del círculo)

 

11. Volumen de un cubo:

V= a³

12. Volumen de un cilindro:

V = π. r². h

  • En la física, el álgebra es usada para expresar las relaciones entre los elementos físicos tales como la masa, la cantidad de energía, la velocidad, la aceleración, el momento angular de una partícula, entre otras.

13. Primer principio de la termodinámica:

U = Q – W

(U = energía interna, Q = calor, W = trabajo)

14. Movimiento rectilíneo y uniforme (MRU):

d = v . t

(d= distancia, v= velocidad, t= tiempo)

15. Equivalencia entre materia y energía:

E = m . c²

  • En la química, el álgebra se utiliza para expresar las fórmulas químicas de los compuestos y sustancias y las relaciones entre las moléculas durante las reacciones químicas:

16. Fórmula del etanol:

C2H6O

17. Fórmula del ácido sulfúrico:

H2SO4

18. Fórmula de la oxidación:

Fe + O2  = FE2O3

Ejemplos de álgebra

  • 5x + 3
  • 9x + 2- 13y
  • 7x + 9 = 12
  • 8 – 4x = -3
  • 2x + 3y = 24
  • x² – (2.(4 + y)) = 0
  • 1/x² + 1 / 1 – x = 2
  • √x + √x-4 = 7
  • 2 log x – 2 log (x – 1) = 4 – 6x
  • sen x = 0
  • cos x + csc y = sen x + y
  • 2x + 3y > 4x
  • (x + 24) – (y + 13) + (z + 8) = tan z

Ejemplos de binomios

Un binomio (del latín bi, que significa “dos” y del griego nomos, que significa “porción” o “parte”) es una expresión algebraica compuesta por dos términos (monomios) que están separados por una operación algebraica de suma o de resta. El binomio es un tipo de polinomio, cuyo grado se determina sumando los exponentes de ambos términos. Por ejemplo: a + b / a – b.

Existen diversas operaciones que pueden realizarse con un binomio, con el fin de simplificar su expresión y facilitar su resolución:

  • Factor común: si se multiplica un binomio por un monomio, se puede aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y la resta.

c. (a + b) = ca + cb

  • Diferencia de cuadrados o suma por diferencia: un binomio compuesto por la resta de dos monomios de grado dos, puede factorizarse como el producto de dos binomios de grado uno.

a² – b² = (a + b) . (a – b)

  • Cuadrado de un binomio: un binomio elevado al cuadrado puede ser expresado como un trinomio cuadrado perfecto, es decir, como la suma del cuadrado de cada término con el doble del producto de los mismos.

(a + b)² = (a + b) . (a + b) = a² + 2ab + b²

  • Producto de dos binomios lineales: al producto de un par de binomios lineales puede aplicársele la propiedad distributiva, para luego extraer el término lineal mediante factor común.

(ax + b) . (cx + d) = acx² + axd + bcx + bd = acx² + (ad + bc) . x + bd

  • Cubo de un binomio: un binomio al cubo es igual al cubo del primer monomio, más (o menos) el triple del cuadrado del primero por el segundo, más triple del primero por el cuadrado del segundo más (o menos) el cubo del segundo monomio.

(a + b)³ = a³ + 3. a².b + 3. a. b² + b³

  • Suma de cubos: si en una suma ambos monomios de un binomio están elevados al cubo, la expresión puede escribirse como la suma de ambos monomios por el cuadrado del primero menos la multiplicación de ambos más el cuadrado del segundo.

a³ + b³ = (a + b). (a² – ab + b²)

  • Diferencia de cubos: si en una resta ambos monomios están elevados al cubo, la expresión puede escribirse como la resta de ambos monomios por el cuadrado del primero más la multiplicación de ambos más el cuadrado del segundo.

a³ – b³ = (a – b). (a² + ab + b²)

Ejemplos de binomios

  • a + b
  • a – b
  • a² + b²
  • 2a² + 3b³ 
  • a5 + 47
  • 32 – b³
  • 15a + 22ab
  • 9a7 + 18a7
  • 12b² – 13b4
  • sin a – cos b
  • (cos a + sin b)²
  • (a + b) . (a – b)
  • (a + b)³
  • 24 + (2cos a  3sin b)

Ejemplos de resoluciones de binomios

  • Ejemplo 1:

9x .(2x + 4y) = 9x . 2x + 9x . 4y = 18x + 36y

En este caso, puede aplicarse la propiedad distributiva, por lo que el término 9x es distribuido entre los monomios.

  • Ejemplos 2:

(3x – 4y)² = (3x)² + 2 .3x . (-4y) + (-4y)² = 9x² – 24xy + 16y²

Aquí aplicamos la regla del cuadrado de un binomio (ya que todo el binomio es el que está elevado al cuadrado). De esa forma, la expresión final será el cuadrado del primero sumado al doble de la multiplicación de los dos monomios sumado al cuadrado del segundo.

  • Ejemplo 3:

(2x + 4)³ = (2x)³ + 3. (2x)² . 4 + 3 . 2x.4² + 4³ = 8x³ + 48x² + 160

La propiedad de cubo de un binomio nos permite transformar el binomio inicial (que está elevado al cubo) en un polinomio de tres términos, donde el primero es el cubo del primer monomio, el segundo es la suma del cuadrado de ambos monomios multiplicados por tres, y el tercero es el cubo del segundo monomio.

  • Ejemplo 4:

9x² – 36 = (3x)² – 6² = (3x + 6) . (3x – 6)

Como ambos monomios pueden ser pensados como el cuadrado de una expresión menor, podemos usar la diferencia de cuadrados, lo que nos permite llegar a dos expresiones de grado uno.

  • Ejemplo 5:

27x³ + 64 = (3x + 4) . (9x² – 12x + 16)

Como ambos monomios pueden ser pensados como el cubo de una expresión menor, podemos aplicar la regla de suma de cubos, llegando a una expresión más simple, de grado dos en vez de tres.

  • Ejemplos 6:

(x + 3) . (x + 4) = x² + (3 +4)x + 3.4 = x² + 7x + 12

Podemos pensar la expresión inicial como el producto de dos binomios lineales, y de esa forma llegar a una expresión unificada de grado dos.

Ejemplos de estadística

Se denomina estadística (del alemán statistik, que significa “análisis de los datos estatales”) a la disciplina encargada de recolectar, estudiar y analizar una muestra representativa de datos. La estadística se enfoca en aplicar herramientas matemáticas a una muestra con el fin de organizar la información, mostrar relaciones causales, explicar dependencias entre dos o más fenómenos y sacar conclusiones.

La estadística es una de las herramientas fundamentales en la investigación científica, tanto en las ciencias físico- naturales como en las ciencias sociales; también es ampliamente utilizada en la planificación, implementación y control de las políticas públicas por parte de los estados y en las operaciones y estrategias de negocios empresariales, ya que sus resultados ayudan a la toma de decisiones.

Tipos de estadística

  • Estadística descriptiva. Recolecta y analiza un conjunto determinado de datos numéricos que son representados en gráficos, esquemas o tablas. Es específica y no realiza generalizaciones más allá de la muestra estudiada.
  • Estadística inferencial. Analiza a una población a través de la recolección y estudio de datos de una muestra representativa. A partir de ella realiza generalizaciones.

Principales conceptos de la estadística

  • Universo. Totalidad de individuos, objetos o fenómenos que poseen una o varias características que pueden ser estudiadas.
  • Población. Conjunto de individuos o fenómenos del universo sobre el que se estudian una o varias características.
  • Muestra. Subconjunto o parte de una población tomada como ejemplar de la población entera.
  • Media muestral. Estimador de la media poblacional que se obtiene al sumar los valores y dividirlos por el tamaño de la muestra.
  • Mediana. Valor central obtenido cuando todas las variables se encuentran ordenadas por tamaño.
  • Moda. Aquel dato que se repite con mayor frecuencia.
  • Frecuencia. Número de casos en los que se repite un fenómeno o valor de una variable.
  • Variables cualitativas. Aquellas que expresan características o atributos.
  • Variables cuantitativas. Aquellas que adoptan valores numéricos.
  • Censo. Recuento de individuos que forman parte de una población.
  • Encuesta. Herramienta con un formato de pregunta/respuesta que se utiliza para obtener datos de una población.
  • Histograma. Esquema que representa gráficamente una o varias variables.

Ejemplos de estadísticas

  1. Las elecciones para diputados nacionales en México indican un 28,87 % de los votos para el Partido Revolucionario Institucional, un 20,86 % para el Partido Acción Nacional, un 10,74 % para el Partido de la Revolución Democrática y un 7,16 % para el Partido Verde Ecologista.
  2. El porcentaje de población por encima de los 60 años en Canadá pasó del 17,03 % en 2002 al 21,3 % en 2013, con un crecimiento promedio del 0,20 % anual.
  3. Dentro del hospital donde se realizó la muestra, puede comprobarse que de los casos de infecciones intrahospitalarias, el 40 % involucra infecciones urinarias, el 25 % se produce por heridas quirúrgicas, el 15 % son infecciones respiratorias y el 10 % están asociadas al cateterismo.
  4. En los cursos de la mañana, donde se realizó la muestra a partir de 50 alumnos que figuran inscriptos, se comprobó que tomando como datos la cantidad de ausencias durante el mes de marzo, la mediana es de 1,5 y la moda es de 2.
  5. Los hábitos de alimentación de la población de moluscos del Océano Atlántico fue investigada a través de 5 muestras diferentes, tomadas con 2 años de diferencia entre cada una, y se comprobó que el 76 % de los animales modificaron sus territorios de alimentación en la última década, mostrando este fenómeno una correlación directa con el ascenso de las temperaturas registradas sobre la superficie del mar.

Ejemplos gráficos de estadísticas (tablas y cuadros estadísticos)

 

Estadistica ejemplo 7

Estadistica ejemplo 8

Estadistica ejemplo 3

Estadistica ejemplo 11Estadistica ejemplo 2

Estadistica ejemplo 4

Estadistica ejemplo 9

Estadistica ejemplo 6

 

Estadistica ejemplo 15

 

Estadistica ejemplo 10

 

Estadistica ejemplo 12

 

Estadistica ejemplo 13

 

Estadistica ejemplo 14

Ejemplos de ecuaciones lineales

Una ecuación es una igualdad matemática, que se da entre dos expresiones algebraicas, en las cuales aparecen constantes, números o coeficientes (que son valores ya conocidos) y variables o incógnitas (que son valores desconocidos). Las ecuaciones lineales son una de las dos formas matemáticas de expresar una relación lineal, que consiste en un conjunto de pares ordenados que tienen una recta como representación gráfica (la otra son las funciones lineales).

Las ecuaciones lineales pueden tener una o más incógnitas, y pueden darse solas o en un sistema de ecuaciones lineales, es decir, varias ecuaciones lineales diferentes que tienen las mismas variables, y que se resuelven sustituyendo la variable en una ecuación por su equivalente en las otras.

De forma más específica, se denomina ecuación lineal a una ecuación que tiene la forma:

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + … + an xn = b 

donde “a” y “b” son números reales y donde la ecuación tiene “n” incógnita. En este tipo de ecuaciones, todas las “x” serán incógnitas, mientras que todas las “a” serán coeficientes y “b” será el término independiente. En una ecuación lineal, las variables están a la primera potencia y solo se dan sumas y restas entre las variables.

Pasos para la resolución de ecuaciones lineales

  1. Eliminar los paréntesis de la expresión, para lo cual se pueden aplicar propiedades del álgebra como la propiedad conmutativa o la propiedad distributiva.
  2. Quitar los denominadores en caso de haber términos fraccionarios. Estos dos pasos se realizan con el objetivo de poder separar los términos independientes de los que tengan la incógnita.
  3. Agrupar todos los términos independientes en un miembro de la ecuación (es decir, de un lado del igual) y todos los términos dependientes que tienen incógnita en el otro miembro.
  4. Reducir los términos semejantes realizando operaciones algebraicas hasta que la incógnita haya quedado totalmente despejada, para lo cual puede ser necesario volver a realizar los pasos 1) y 2).

Ejemplos de ecuaciones lineales

  • 2x = 30
  • x = 9 + 4x – 3
  • 2x + 9 – 4x = 12x + 5 – 6x + 6
  • x² = 9
  • x² + 4x + 6 = 0
  • 2x + 4y = x/1
  • 3x + 7y = 16
  • 21 = 9z – 12y
  • 12y = 42
  • x + y + z = 0
  • 2x + 3y + 4z =5
  • 4x – 2y + 9z = x +12y -4z
  • x/4 – 2 = x/2
  • y/2 + x/3 = 34
  • 3x + 15 = 5x/2 + 9y
  • 4. (x-5) = 2z + 2
  • 45z – 23x + 34y = 10z + 33y

Ejemplos de resolución de ecuaciones lineales

  • Ejemplo 1:

8x = 32

Nuestro objetivo para resolver la ecuación es despejar la incógnita x. Como no tenemos paréntesis ni términos fraccionarios, y además ya tenemos todos los términos independientes de un lado del igual, dividimos ambos términos por ocho (ya que al realizar la misma operación en ambos términos de una ecuación, la igualdad se mantiene):

8x / 8 = 32 / 8

De manera que simplificando en ambos términos (los dos ochos en el término izquierdo y la fracción en el término derecho) nos queda:

x = 4

  • Ejemplo 2:

3x – 2 = 4 + x

Lo primero que podemos hacer aquí es agrupar los términos independientes de un lado del igual y los términos con incógnita en el otro miembro. De esa forma, pasamos los términos y queda:

3x – x = 4 + 2

Ahora, reducimos los términos todo lo posible:

2x = 6

Y finalmente, dividimos ambos términos por 2:

2x/2 = 6/2

Simplificamos y queda la incógnita despejada:

x = 3

  • Ejemplo 3:

4 .(3x – 5) = 7 + x

En este caso, debemos deshacernos de los paréntesis, para lo cual aplicamos la propiedad distributiva:

4. 3x – 4.5 = 7 + x

Realizamos las operaciones para reducir los términos:

12x – 20 = 7 + x

Ahora pasamos todos los términos independientes de un lado del igual y los dependientes del otro lado:

12x – x = 7 + 20

Realizamos las operaciones posibles en ambos miembros:

11x = 27

Y despejamos completamente la incógnita:

x = 27/11

  • Ejemplo 4:

5. (x + 10) = -3. (4 – x) + 1x

Eliminamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

5x + 50 = -12 + 3x + 1x

Pasamos todos los términos independientes de un lado del igual:

5x – 3x – 1x = -12-50

Realizamos las operaciones para reducir los términos a la mínima expresión posible:

x = -62

Ejemplos de gráficos de ecuaciones lineales

Todas las ecuaciones con dos incógnitas pueden ser graficadas como una recta en el plano cartesiano, ya que la gráfica de una ecuación lineal es la gráfica de su conjunto solución. Para ello, no hace falta más que encontrar dos puntos cualesquiera que pertenezcan a la recta, y trazar la recta que une ambos puntos. Para hallar un punto, se puede reemplazar una incógnita por un valor cualquiera, y luego proceder a despejar la otra incógnita.

  •     x + 2y = 7
    P1 = (7;0)
    P2 = (0; 3,5)

Ecuación lineal 1

  •     y = 3x + 1
    P1 = (0;1)
    P2 = (1;4)

Ecuacion lineal 2

Ejemplos de ecuaciones

Se denomina ecuación a una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas en las cuales aparecen valores conocidos y otros desconocidos. Por ejemplo: x + 7 = 32.

Mientras que los valores desconocidos son denominados variables o incógnitas, que se representan por letras como “x”, “y” y “z” y cuya magnitud puede conocerse a partir de las propiedades matemáticas de la ecuación o a través de un sistema de ecuaciones, los valores conocidos son constantes (números o coeficientes).

Entre los tipos de ecuaciones pueden mencionarse: ecuaciones racionales, ecuaciones diofánticas, ecuaciones trascendentes, ecuaciones diferenciales, ecuaciones funcionales, ecuaciones integrales, ecuaciones de primer grado (o ecuaciones lineales), ecuaciones de segundo grado (o ecuaciones cuadráticas), ecuaciones de tercer grado, entre otras.

Ejemplos de ecuaciones

  • Ecuación de primer grado o lineal:
    ax + b = 0
    (donde b es una constante)
  • Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas:
    ax² + bx + c = 0
    (donde c es una constante)
  • Ecuaciones de tercer grado:
    ax³ + bx² + cx + d = 0
    (donde d es una constante)
  • Ecuaciones de cuarto grado:
    ax+ bx³ + cx² + dx + e = o(donde e es una constante)
  • 2x = 4
  • x + 7 =32
  • 2 + x – 5 = 12 + 3
  • 8x = x + 2
  • 3x² + 2x + 1 = 5
  • x = 4y
  • x³ + 6x² – 9x + 5x = 17
  • x5 + 5y3 – 22 = 5x – 1
  • 2 tan x + √x = sen x – ½
  • (x + y) dx = (y – x)dy
  • dy/dx + P(x)y = Q(x) – R(x)
  • y’ = 4 (y”)² + 5x – 3z + 24
  • log (7x + 5) = 12y + log4z

Ecuaciones equivalentes

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Esta propiedad se utiliza frecuentemente cuando se está intentando resolver una ecuación. Para poder determinar la equivalencia, se utilizan dos criterios:

  • Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad constante, la ecuación es equivalente a la original:

2x + 5 = x – 7

Esta ecuación tendrá el mismo resultado que esta otra:

2x + 5 – 5 = x – 7 – 5

2x = x – 12

  • Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad constante, la ecuación es equivalente a la original.

Ejemplos resueltos de ecuaciones

Para resolver una ecuación, se debe despejar completamente la incógnita o variable, quedando esta de un lado del igual. Para esto, se pueden aplicar diversas propiedades que permitan reducir las expresiones, así como pasar los términos de un lado al otro del igual.

  • Ejemplo 1:

x + 6 = 15

En este ejemplo, la x representa nuestra incógnita. Para despejarla, se dice que “pasamos” el término constante (+6) del otro lado del igual (lo que en realidad se hace es restarle 6 a ambos términos, lo que no modifica la igualdad).

x + 6 – 6 = 15 – 6

x = 15 – 6

Al resolver el segundo término, vemos que el único valor que puede tomar x para satisfacer la ecuación es 9.

x = 9

  • Ejemplo 2:

3x + 6 = 9

En este caso, debemos despejar la x, así que comenzamos “pasando” el 6 al segundo término.

3x = 9 – 6
3x = 3

Vemos que la x está siendo multiplicada por un 3, así que para deshacernos de él aplicaremos nuevamente la propiedad que establece que si realizamos la misma operación a ambos lados del igual, la equivalencia sigue siendo válida. En este caso, dividimos ambos términos por 3.

3x/3 = 3/3

Y ahora, simplificamos las fracciones para llegar al resultado.

x = 3

  • Ejemplo 3:

x + 8 = 12 – x

Aquí vemos que la incógnita x aparece dos veces, a ambos lados del igual. Como debemos tratar de tener solo una, pasamos todas las incógnitas del lado izquierdo del igual y todas las constantes del lado derecho.

x + x = 12 – 8

Ahora resolvemos las operaciones de ambos lados del igual (las incógnitas pueden sumarse y restarse igual que los demás valores).

2x = 4

Llegamos a una situación similar a la del ejemplo anterior, por lo cual tratamos de eliminar el 2 que multiplica a la x.

2x/2 = 4/2

x = 2

  • Ejemplo 4:

4. (3x – 5) = 2 + x – 1

Para empezar, podemos reducir la expresión del segundo término, reacomodando los términos.

4. (3x – 5) = 2 – 1 + x

4. (3x – 5) = 1 + x

Ahora, debemos deshacernos del paréntesis, para lo cual podemos aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la resta.

12x – 20 = 1 + x

Nuevamente, dejamos todas las incógnitas de un lado del igual y los términos constantes del otro.

12x – x = 1 + 20

11x = 21

Y finalmente, despejamos completamente nuestra incógnita.

x = 21/11

Ejemplos de productos notables

Se denomina productos notables a un tipo de productos (o multiplicaciones) que pueden representarse mediante expresiones algebraicas, y que además cumplen ciertas reglas fijas. Cada uno de los productos notables se corresponde con una fórmula de factorización.

Los productos notables permiten resolver una expresión algebraica sin necesidad de verificar la multiplicación, mediante la aplicación de la regla, lo que permite simplificar la resolución de expresiones complejas. Algunos ejemplos de productos notables son:

  • el factor común
  • el cuadrado de un binomio
  • las identidades de Lagrange
  • el cuadrado de un polinomio
  • las identidades de Legendre
  • el cubo de un binomio
  • el producto de binomios con término común
  • la identidad de Argand
  • el producto de dos binomios conjugados.

Ejemplos de productos notables

  • (a + b)2= a2 + 2 · a · b + b2
  • (a − b)2= a2 − 2 · a · b + b2
  • (a + b) · (a − b) = a2− b2
  • (a + b)3= a3 + 3 · a2  b + 3 · a · b2 + b3
  • (a − b)3= a3 − 3 · a2  b + 3 · a · b2 − b3
  • (a + b + c)2= a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
  • a3+ b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
  • a3− b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
  • (x + a). (x + b) = x2+ (a + b) x + ab
  • (a + b)2+ (a – b)2 = 2. (a2 + b2)
  • (x2+ x + 1). (x2 – x + 1) = x4 + x2+1
  • (a+b) = c. a + c. b
  • (a + b)3= a3 + 3a2.b + 3ab2+ b3

Ejemplos de funciones lineales

Una función lineal es un tipo de función polinómica de primer grado, es decir, que puede escribirse bajo la expresión algebraica y = mx + b (donde m y b son valores constantes), y cuya representación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta. Por ejemplo: y = x – 5.

Las constantes de un función lineal son elementos importantes a la hora de la representación gráfica, ya que la pendiente m indica el grado de inclinación de la recta y la ordenada al origen b indica el punto en que la recta corta al eje y.

Ejemplos de funciones lineales

  • y = x func1
  • y = 2x + 3funcion
  • y = 10x Función lineal 3
  • y = x + 1 Función lineal 4
  • y = x + 7Función lineal 5
  • y = x – 4 Función lineal 6
  • y = – 2x Función lineal 7
  • y = – 3x + 5 Función lineal 8
  • y = 17x – 32 Función lineal 9
  • y = – 9x + 8 Función lineal 10
  • y = 10x + 10x Función lineal 11
  • y = 3x – 2x + 7 Función lineal 12
  • y = 90x + 10x – 99x + 2 Función lineal 13
  • y = – 15x + 10x Función lineal 14
  • y = 100x + 100 Función lineal 15

Ejemplos de lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico es un tipo de lenguaje utilizado en matemáticas para expresar principios, teoremas y ecuaciones, recurriendo para ello al uso de letras, símbolos y números, con el fin de expresar relaciones de carácter general. El lenguaje algebraico es un lenguaje abstracto, que permite expresar las relaciones generales que se dan en infinitos casos particulares, lo que facilita el razonamiento abstracto. Por ejemplo: 2a + 2b + x = 174.

Los símbolos utilizados en el lenguaje algebraico son todas las letras del alfabeto, además de números, los símbolos que representan las operaciones de suma (+), resta (-), multiplicación (x) y división (/), y los símbolos de agrupación como ( ), [ ] y { }. También se utilizan algunas de las letras del alfabeto griego, potencias, raíces, logaritmos, límites, entre otras operaciones.

Ejemplos de lenguaje algebraico

  • a + b =2
  • a – c = 10
  • b / 2 = d
  • a= 2. b
  • 3c – 5d + y = 20c
  • (a + b) = c
  • -b + 2. a + (b + d) = (23. c) – d
  • x + y + z = 2x. (a + b)
  • a / [(12. b) – d + (15.a + c + d) – (b – c) ] = 15
  • x = 2. z
  • β + α = 30
  • a + α + (2a – 2b) – = β
  • e = m.
  • = 23x + y
  • = b / d
  • = 2a

Ejemplos de funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas son un tipo de funciones polinómicas que se caracterizan por ser descriptas por una ecuación de forma y = ax2 + bx + c, donde debe cumplirse que a ≠ 0 (sin embargo, b y c sí pueden ser iguales a 0). Las funciones cuadráticas no deben tener términos de grado mayor que 2.

A nivel gráfico, las funciones cuadráticas son representadas por una parábola, que puede encontrarse desplazada en relación al centro del eje de coordenadas. Las funciones cuadráticas suelen ser muy utilizadas en matemáticas al trabajar con áreas de figuras geométricas, con medidas de aceleración o de gravedad.

Ejemplos de funciones cuadráticas

  • y= x2 Función y = x2
  • y= 2x2x2
  • y= 10x2  Función cuadrática 3
  • y= x2 + x Función cuadrática 4
  • y= 2x2 + 4x Función cuadrática 5
  • y= 15x2 + 30x Función cuadrática 6
  • y= x2 + x + 1 Función cuadrática 7
  • y= 2x2 + 3x + 4 Función cuadrática 8
  • y= x2 + 16 Función cuadrática 9
  • y= 3x2 – 9  Función cuadrática 10
  • y= 12x2 – 5x – 18 Función cuadrática 11
  • y= – xFunción cuadrática 12
  • y= – 3x2 + 2x – 1 Función cuadrática 13
  • y= 218x2 + 152x + 87 Función cuadrática 14
  • y= – 99x2 – 55x – 29  Función cuadrática 15

Ejemplos de fracciones equivalentes

Se denomina fracciones equivalentes a todas aquellas fracciones que tienen el mismo valor, aunque se representen de manera diferente. De manera más precisa, se dice que dos fracciones son equivalentes entre sí cuando representan al mismo número decimal. Por ejemplo: 1/2 = 3/6.

Existen dos métodos para encontrar una fracción equivalente.

  1. Ampliación. Se multiplica el denominador y numerador de una fracción determinada por el mismo número, de manera que la fracción resultante será equivalente a la inicial (el denominador y el numerador cambiaron pero mantienen la misma relación).
  2. Simplificación. Se divide el numerador y el denominador por un mismo número (aquí existe la condición de que tanto el denominador como el numerador sean divisibles por ese número elegido), obteniendo una fracción equivalente como resultado.

Ejemplos de fracciones equivalentes

  • 1/2 = 4/8
  • 1/2 = 2/4
  • 3/6 = 2/4
  • 3/4 = 24/32
  • 2/3 = 16/24
  • 8/10 = 72/90
  • 3/7 = 15/35
  • 2/5 = 12/30
  • 6/7 = 12/14
  • 1/2 = 100/200
  • 9/3 = 72/24
  • 19/13 = 38/26
  • 38/26 = 152/104
  • 17/8 = 119/56
  • 37/89 = 370/890
  • 45/89 = 225/445
  • 14/100= 112/800
  • 20/20 = 2/2